1. 傅里葉變換的應(yīng)用領(lǐng)域

傅里葉級數(shù)

 展開的實際意義：

傅立葉變換

 是數(shù)字信號處理領(lǐng)域一種很重要的算法,。要知道傅立葉變換算法的意義,，首先要了解傅立葉原理的意義,。

傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號,，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加,。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率,、振幅

 和相位,。

和傅立葉變換算法對應(yīng)的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說也是一種累加處理,，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉(zhuǎn)換成一個信號,。因此，可以說,，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜）,，可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工,。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時域信號,。

從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換,。它能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分,。

在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式,，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換,。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具,，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征,。"任意"的函數(shù)通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)

 的線性組合的形式,，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對簡單的函數(shù)類：

1) 傅立葉變換是線性算子,若賦予適當?shù)姆稊?shù)

 ,它還是酉算子;

2) 傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;

3) 正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時不變雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段;

4) 離散形式的傅立葉的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲取;5. 著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復(fù)變換可以利用數(shù)字計算機快速的算出(其算法稱為快速傅立葉變換算法(FFT)),。正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論,、組合數(shù)學(xué),、信號處理、概率,、統(tǒng)計,、密碼學(xué)、聲學(xué),、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用,。

2. 傅里葉變換用在什么地方

傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域,，傅里葉變換具有多種不同的變體形式,，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的,。 　傅里葉變換在物理學(xué),、電子類學(xué)科、數(shù)論、組合數(shù)學(xué),、信號處理,、概率論、統(tǒng)計學(xué),、密碼學(xué),、聲學(xué)、光學(xué),、海洋學(xué),、結(jié)構(gòu)動力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量）,。 轉(zhuǎn)的呵呵

3. 傅里葉變換的用處

傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合,。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式,，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換,。最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的?！「道锶~變換在物理學(xué),、電子類學(xué)科、數(shù)論,、組合數(shù)學(xué),、信號處理、概率論,、統(tǒng)計學(xué),、密碼學(xué)、聲學(xué),、光學(xué),、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號處理中,，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量）,。轉(zhuǎn)的呵呵

4. 傅里葉變換的典型應(yīng)用

傅里葉光學(xué)其應(yīng)用領(lǐng)域包括空間濾波、光學(xué)信息處理,、光學(xué)系統(tǒng)質(zhì)量的評估,、全息術(shù)以及傅里葉光譜學(xué)的研究等。

傅立葉光學(xué)（傅里葉光學(xué)）是現(xiàn)代光學(xué)的一個分支,，將電信理論中使用的傅里葉分析方法移植到光學(xué)領(lǐng)域而形成的新學(xué)科,。在電信理論中，要研究線性網(wǎng)絡(luò)怎樣收集和傳輸電信號,，一般采用線性理論和傅里葉頻譜分析方法。在光學(xué)領(lǐng)域里，光學(xué)系統(tǒng)是一個線性系統(tǒng),，也可采用線性理論和傅里葉變換理論,，研究光怎樣在光學(xué)系統(tǒng)中的傳播。兩者的區(qū)別在于,，電信理論處理的是電信號,，是時間的一維函數(shù)，頻率是時間頻率,，只涉及時間的一維函數(shù)的傅里葉變換,；在光學(xué)領(lǐng)域，處理的是光信號,，它是空間的三維函數(shù),，不同方向傳播的光用空間頻率來表征，需用空間的三維函數(shù)的傅里葉變換,。

5. 傅里葉變換的適用范圍

傅里葉變換的作用就是把非正余弦 周期(請注意必須是周期函數(shù))函數(shù)轉(zhuǎn)化為無限個規(guī)則的正弦余弦函數(shù),。變成規(guī)則的函數(shù)以后，雖然有無限項,，但是工程取前幾項精度就夠用了,。

規(guī)則函數(shù)利于計算。把難以計算甚至無法計算的函數(shù)轉(zhuǎn)化為可以計算的函數(shù),。

6. 傅里葉變換的具體應(yīng)用

前言

前面轉(zhuǎn)載過一篇關(guān)于傅里葉變換原理的文章《一篇難得的關(guān)于傅里葉分析的好文》,。那篇文章寫得非常棒，淺顯易懂,，可以說稍有基礎(chǔ)的人都能看懂那篇博文,。但是那篇博文更多的是從信號處理的角度以及原理的角度講述傅里葉變換。那么在數(shù)字圖像處理中,，傅里葉變換之后得到的頻譜圖又有怎樣的運用呢,？這篇博客就是為了簡單講講傅里葉變換在數(shù)字圖像處理中的意義和基本應(yīng)用，如有錯誤請各位指出,。

數(shù)字圖像的傅里葉變換

通過前面的博文已經(jīng)知道傅里葉變換是得到信號在頻域的分布,，數(shù)字圖像也是一種信號，對它進行傅里葉變換得到的也是它的頻譜數(shù)據(jù),。對于數(shù)字圖像這種離散的信號,，頻率大小表示信號變化的劇烈程度或者說是信號變化的快慢。頻率越大,，變化越劇烈,，頻率越小，信號越平緩,，對應(yīng)到圖像中,，高頻信號往往是圖像中的邊緣信號和噪聲信號,，而低頻信號包含圖像變化頻繁的圖像輪廓及背景等信號。

需要說明的是,，傅里葉變換得到的頻譜圖上的點與原圖像上的點之間不存在一一對應(yīng)的關(guān)系,。

頻域數(shù)據(jù)的應(yīng)用1. 圖像去噪

根據(jù)上面說到的關(guān)系，我們可以根據(jù)需要獲得在頻域?qū)D像進行處理,，比如在需要除去圖像中的噪聲時,，我們可以設(shè)計一個低通濾波器，去掉圖像中的高頻噪聲,，但是往往也會抑制圖像的邊緣信號,，這就是造成圖像模糊的原因。以均值濾波為例,，用均值模板與圖像做卷積,，大家都知道，在空間域做卷積,，相當于在頻域做乘積,，而均值模板在頻域是沒有高頻信號的，只有一個常量的分量,，所以均值模板是對圖像局部做低通濾波,。除此之外，常見的高斯濾波也是一種低通濾波器,，因為高斯函數(shù)經(jīng)過傅里葉變換后,，在頻域的分布依然服從高斯分布，如下圖所示,。所以它對高頻信號有很好的濾除效果,。

高斯函數(shù)在頻域的分布圖像

2. 圖像增強及銳化

圖像增強需要增強圖像的細節(jié)，而圖像的細節(jié)往往就是圖像中高頻的部分,，所以增強圖像中的高頻信號能夠達到圖像增強的目的,。

同樣的圖像銳化的目的是使模糊的圖像變得更加清晰，其主要方式是增強圖像的邊緣部分,，其實就是增強圖像中灰度變化劇烈的部分,，所以通過增強圖像中的高頻信號能夠增強圖像邊緣，從而達到圖像銳化的目的,。從這里可以看出,，可以通過提取圖像中的高頻信號來得到圖像的邊緣和紋理信息。

3. 其他基于頻譜和相位譜的操作等

下面我們通過代碼來看一下是否真如我們想想的一樣,。

代碼運行結(jié)果

如果在圖像中加入噪聲,，結(jié)果會如何呢？

結(jié)果分析

從上面的結(jié)果可以看出,，低通濾波會讓圖像變得模糊,，可以對圖像進行模糊處理,，濾除圖像的噪聲，高通濾波獲得了圖像的邊緣和紋理信息,。此外,，通過增強圖像的高頻信號，可以增強圖像的對比度,，因為圖像中的高頻信號主要是出現(xiàn)在邊緣及噪聲這樣的灰度出現(xiàn)躍變處的區(qū)域。

從頻譜圖上可以看出,，當將頻譜移頻到原點以后,，圖像中心比較亮。在頻譜圖中,，一個點的亮暗主要與包含這個頻率的數(shù)目有關(guān),，也就是說在空間域中包含這種頻率的點越多，頻譜圖中對應(yīng)的頻率的位置越亮,。而經(jīng)過頻移后,，頻率為0的部分，也就是傅里葉變換所得到的常量分量在圖像中心,，由內(nèi)往外擴散,，點所代表的頻率越來越高?？梢詮纳厦娴慕Y(jié)果中看出,，只取核心的小范圍內(nèi)的低頻信號再將其轉(zhuǎn)換回到時域空間，已經(jīng)能夠在一定程度是看到圖像的基本輪廓信息,，這說明了圖像中的“能量”主要集中在低頻部分,。

實際上，為了方便理解,，可以把圖像的二維傅里葉變換得到的頻譜圖看作圖像的梯度分布圖（兩幅圖像中的點并不是一一對應(yīng)）,，頻譜圖中的某一個點所表征的是空間域中某一個點與周圍點的灰度差異性，灰度差異越大,，則頻率越大,。當然時域中灰度變化劇烈的區(qū)域也包含了低頻信號，因為低頻信號是構(gòu)成圖像信息的基礎(chǔ),。

7. 傅里葉變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

t的傅里葉變換為(i/2pi)&(f) 1/t傅里葉變換為 -i*pi*sgn(f) 其中pi為3.1415926 &(f)為狄拉克函數(shù) sgn（f）為符號函數(shù) i的平方等于1,。

sintcost=1/2sin2tF(1/2sin2t)=∫(-∞，+∞) 1/2sin2t · e^-jwt dt用歐拉公式可得原式=1/2∫(-∞,，+∞) j/2( e^-2jt - e^2jt )e^-jwt dt=j/4∫(-∞,，+∞) e^-j(w+2)t - e^-j(w-2)t dt用δ函數(shù)的傅氏變換 得原式=j/2 π[δ(w+2)-δ(w-2)]歐拉公式: sin2t=j/2 (e^-2jt - e^2jt)δ函數(shù)的傅氏變換:F(e^jw。t)=∫(-∞,，+∞) e^j(w,。-w)t dt =2πδ(w,。-w)。

8. 傅里葉變換適用條件

傅立葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合,。在不同的研究領(lǐng)域,，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅立葉變換和離散傅立葉變換,。最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的,。

（1）基本性質(zhì)——線性性質(zhì)線性linear，指量與量之間按比例,、成直線的關(guān)系,，在數(shù)學(xué)上可以理解為一階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的函數(shù)；非線性non-linear則指不按比例,、不成直線的關(guān)系,，一階導(dǎo)數(shù)不為常數(shù)；兩函數(shù)之和的傅里葉變換等于各自變換之和,。數(shù)學(xué)描述是：若函數(shù)f(x）和g(x）的傅里葉變換mathcal[f]和mathcal[g]都存在,，α 和 β 為任意常系數(shù)，則mathcal[αf+βg]=α,，mathcal[f]+βmathcal[g],；傅里葉變換算符mathcal可經(jīng)歸一化成為么正算符；

（2）頻移性質(zhì)若函數(shù)f( x ）存在傅里葉變換,，則對任意實數(shù)ω0,，函數(shù)f(x) e^{i ωx}也存在傅里葉變換，且有mathcal[f(x)e^{i ωx}]=F(ω+ ω0 ）,。式中花體 mathcal是傅里葉變換的作用算子,，平體F表示變換的結(jié)果（復(fù)函數(shù)），e 為自然對數(shù)的底,，i 為虛數(shù)單位 sqrt,。

9. 傅里葉變換的實際應(yīng)用

1. 傅里葉變換是線性算子,若賦予適當?shù)姆稊?shù),它還是酉算子;2. 傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;3. 正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解，在線性時復(fù)雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段;4. 離散形式的傅里葉的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲取;

10. 傅里葉變換性質(zhì)應(yīng)用

傅里葉變換（Fourier transformation）具有的性質(zhì)： （1）線性性質(zhì)：函數(shù)線性組合的傅里葉變換=各函數(shù)傅里葉變換的線性組合

（2）位移性質(zhì)（shift信號偏移,，時移性）：

如：

f（t-t0）表示時間函數(shù)f（t）沿t軸向右平移t0,，其傅里葉變換=f（t）的傅里葉變換乘以因子exp（-iwt0），類似f（t+t0）的傅里葉變換=f（t）的傅里葉變換乘以因子exp（iwt0）

而F（w-w0）的表示頻譜函數(shù)沿w軸向右平移w0,，其傅里葉逆變換=F（w）的傅里葉逆變換乘以因子exp（iw0t）,，反之乘以exp（-iw0t）

（3）微分性質(zhì)：一個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換等于這個函數(shù)傅里葉變換乘以因子iw

（4）積分性質(zhì)：一個函數(shù)積分后的傅里葉變換等于這個函數(shù)傅里葉變換除以因子iw

利用傅氏變換的這四條性質(zhì)，可以將線性常系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化成為代數(shù)方程,，通過求解代數(shù)方程和求傅氏逆變換,，可得到微 分方程的解。